I met her at the library first, and at a cake shop second/next.
first, second は「1回目に」「2回目に」という副詞として使えるので、そのまま
at the/a library first
at a cake shop second/nest
と素直に英語にすれば正しい文になります。
上の会話なら、
I met her twice last week.(先週彼女と2回会った。)
Where?(どこで?)
First at the library, and next at a cake shop.(1回目は図書館、2回目はケーキ屋。)
のような流れになります。
なお、「最初に・1回めに」の first を at first と言う人がよくいますが、これは間違いでなので注意しましょう。
at first は「最初のうちは」という意味なのでここでは使えません。
The first time was at the library, the second time was at the cake shop.
First at the library, then at the cake shop.
最初は図書館で、その次はケーキ屋さんで。
The first time was at the library, the second time was at the cake shop.
1回目は図書館、2回目はケーキ屋さんでした。
上記のように英語で表現することができます。
first time = 1回目、second time = 2回目、と表現できます。