「痛恨の念」は自分のしたことについて強く後悔したり、取り返しがつかず残念だという思いですね。
動詞 regret は、
to feel sorry about something you have done and wish you had not done it
という意味でぴったりです。
regret はそのまま名詞にもなるので、「痛恨の念」＝ regret となりますが、使う場合には
I regret having let him go.（彼を行かせたことには痛恨の念があります。）
のように動詞表現がいいと思います。
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