スマホ一台で調べ事もショッピングもできるって英語でなんて言うの？

日本語の通り、そのまま英語にした感じですが、それぞれのパートは

　スマホ一台で　With a smartphone

　調べ事をする　look up something, do research など

　ショッピングする　do shopping

「も」は or にしましたが、and でも間違いではありません。
ただ、and だと同じ時に両方する感じが出るので、ここでは or を優先しました。