出来るだけ早く到着する交通手段を調べましょうか？って英語でなんて言うの？

お調べしましょうか？というニュアンスでしたら「Would you like me to 動詞」
で【OOいたしましょうか】という言い方ができます。

Serch = 調べる
the transportation ＝ 交通手段
to arrive at / to reach = 〜に到着する/〜に着く
as soon as possible = できるだけ早く

ですので例として「 to arrive at Tokyo as soon as possible」で
「東京に出来るだけ早く着く」となります。
相手の行き先が分からない場合は（）を外しても通じるでしょう。