〇〇とちょっとしたことで喧嘩した（言い合いになった）って英語でなんて言うの？

子供がまだ小さい時に『ちょっとした喧嘩をした』と言いいたかったんだけど
" fight"　を使って先生に話そうとすると『戦い』をしたような感じでうけとられて
"figth" じゃあ～私のいいたこと伝わらないな～と思ったことがあります。

ちょっとした喧嘩/口論の事を　"squabble" と言います。
また" a small figh" といってもちょっとした喧嘩と言う意味で
受け止めてもらえます。

"have a squabble about " (~とちょっとした喧嘩をする）
"have a squabble over" (~をめぐってちょっとした喧嘩をする）
"have a squabble with" (~とちょっとした喧嘩をする）

これらで言いたいことが表現できるのではないかと思います。

we argued over trivial thingsは、「くだらないことについて
argueはfightとよく似た意味を持っていますが、argueの方が「論理的に話し合う」というニュアンスが強いです。「相手の意見を聞かずに自分の意見を主張する」という部分が共通しています。
argueの後ろにつく前置詞は、overのかわりにaboutという前置詞に置き換えても意味がほぼ同じですが、しいて言うなら、overを使ったほうが、言い争っている事柄がより些細で個人的な問題に聞こえるということです。

trivial = 「ささいなこと」「つまらないこと」「くだらないこと」

Older generations think that younger generations' problem are trivial.
上の世代は若い世代の問題がくだらないと思っている。