It makes my heart warm.は
「それを見ると心が温まる」という意味です。
make+O+Cで「OをCにさせる」
という意味になり、会話でも良く使われます。
It is heart-warming to see it.
も同じ意味ですが、heart-warmingが
「[心温まる](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/23313/)」という意味の形容詞として
使われています。
a heart-warming story「心温まる話し」
のようにも使うことが出来ます。
参考になれば幸いです。