録画しといてね！
は
Please make sure to record it!
Pleas don't forget to record it!
となります。
関連
Please make sure you take a shower before you go to bet.
寝る前に忘れずシャワー浴びなさいよ！
と主語動詞を後ろにおいても大丈夫です。
「必ず○○してね」は Don't forget to や Be sure to のように言えます。
軽く頼みごとを言う時は Don't forget to が良いですね。「忘れないでね！」→「必ずしてね！」のニュアンスです。
Be sure to はもう少し強いニュアンスです。
例：
Don't forget to buy some milk on your way home.
帰りに牛乳買ってくるの忘れないでね。
Be sure to finish your work by the end of this week.
今週末までに必ず仕事を終わらせるように。
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