I was already doing the washing so I did yours while I was at it. Don't worry about it.
I was washing my clothes so I did yours too. No worries.
「ついでに」＝ while I'm at it
「気にしないで」＝ don't worry about it / it doesn't matter/ it's no problem/No worries/it's no big deal
「ついでだったから気にしないで」＝ I was already doing the washing so I did yours while I was at it. Don't worry about it. / I was washing my clothes so I did yours too. No worries.
It wasn’t a big deal because I had to wash mine as well
It doesn’t matter! I just washed yours while I was doing mine.
(1) Don’t worry because I had to wash mine anyways
「気にしないで、どうせ自分のも洗わなきゃいけなかったから。」
‘Don’t worry’ = 「気にしないで」
‘~ anyways’ は ‘I needed to do 〇〇 anyways’ のように文末に ’anyways’ をつけることで「どうせ〇〇しなきゃいけなかったから」という文型に。
(2) It wasn’t a big deal because I had to wash mine as well
‘it wasn’t a big deal~’ = 「たいしたことなかったよ！」「たいした量じゃなかったら大丈夫だよ」
‘~ as well’ = 「～も」
「自分のも洗わなきゃいけなかったし、たいした量じゃなかったから大丈夫だよ」のようなニュアンスの訳出です。
(3) It doesn’t matter! I just washed yours while I was doing mine
「気にしないで、自分のを洗うついでに洗っただけだよ！」
’It doesn’t matter!’ = 「気にしないで！」「大丈夫だよ！」
‘~ while i was at it’ や ‘while i was washing mine’, ‘while i was doing mine’ ＝「自分のをやったついでに」「自分のを洗うついでに」
I will do washing anyway, I will take care of yours too.
I was just washing mine anyway. No problem!
日本語のついでに英語でぴったりの言葉はないと思います。
1) I will do washing anyway, I will take care of yours too.
「洗濯するからあなたのも一緒にやっておくよ。」になります。
2) I was just washing mine anyway. No problem!
「いいよ！ついでやっておいたよ！」という意味です。
もっとフランクな言い方になります。
イギリス 
日本 
