マッサージを受けるお客様名をお知らせ下さいって英語でなんて言うの？

Could I please have the names/
Could you please give me the names =
名前を教えていただけませんか？どちらも丁寧で、お客様に対するよく使う言い方です。CouldはCanよりも少し丁寧に聞こえます。

Customers = お客さん
People = 人 - どちらでもOK! 英語ではお客さんを”お客様”と呼ぶ必要はありません！

OO who will receive a massage / who will be receiving a massage = マッサージを受けるOO

英訳①　provide ... with ～で「…に～を提供する／与える」という意味です。a list of the names of massage clientsは「マッサージを受ける客の名前のリスト」の意味です。

英訳②　電話口などでお客に尋ねる場合は、Could you tell me the names of the massage clients?などがベストです。

英訳③　「マッサージを受けるお客様の名前を教えてください。そうすれば到着されたときにわかるので」が直訳です。
give me ...というと、「なんかぶっきらぼうな言い方じゃない？」と思う方もいるようですが、そういうニュアンスはないので安心してください。
この文についてあえて言えば、pleaseよりもCould you ...?などの尋ね方の方がより丁寧です。