1) I experience the local life「現地の生活を経験する」という意味になります。
Localは現地の、という意味の形容詞ですが
I experience as a localのように名詞としても使えます。
2) I'm living with the local people「私は現地の人たちと生活しています」という意味になります。I'm livingとしたのは「一時的に住む」ことを聞き手理解してもらうためです。Live withですとずっと住んでいるかのような印象を受けますので、体験として一時的に住む場合はliving or stayingなどが良いでしょう。
3) I enjoy the life as a local「現地の人のように生活を楽しんでいます」という意味になり、少し日本語の意味とは違ってしまいますが、より現地での生活を満喫しているように聞こえる表現ですのでポジティブなニュアンスが伝わります。