「近いうちにまたすぐ来るから安心して」って英語でなんて言うの？

No worries! I'm coming back real soon! 心配ないよ！またすぐ戻ってくるから！ ”No worries!”は”Don't worry!”でもオッケーですね。 ”real soon”という言い方ですが、カジュアルなニュアンスです。 文法的に正しいのは"I'm coming back really soon!"です。

「またすぐ来るから！」という気持ちを表現しています。 「安心して」と言うニュアンスも含まれるのであえて言わなくてもいいですね。

I'll be back in the blink of an eye という表現は、目を瞬きで戻るという直訳で、すぐに戻るという意味になって、この場面で適切な日常会話の言葉になります。 例文　1) Don't go! 　　　　　　「行かないで」 　　　2) Don't worry. I'll be back in the blink of an eye! 　　　　　　「すぐ戻るから、安心してね！」 ご参考になれば幸いです。