「中に入る」はcome inです。
「コートなどの上着を着たままで」は
with your coat onです。
このwithは、付帯条件のwithと言われ、
with+名詞+前置詞（形容詞、分詞）の形で
良く使われます。
with your mouth full
口を一杯にしたままで
with your legs crossed
脚を組んで
もっとシンプルに言うのであれば
in your coat と言えば大丈夫です。
「服を着ている」はinで表現します。
She is dressed in white.
彼女は白い服を着ている
参考になれば幸いです。
「（上着を）着たままで中にお入りください」に対応する英語フレーズは「Please, come in with your coat on.」となります。
- "Please, come in with your coat on."
このフレーズは直訳すると「（あなたの）コートを着たまま入ってください」となります。これは、上着やコートを着たまま建物の中に入ることを指示する時に使用するフレーズです。
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