May I write (down) the same position as the person below?
〜していいですか？とききたい時は、Can I 〜? が頭に浮かぶ人も多いのではないかと思いますが、職場などで自分のやりたいことにお伺いをたてるのであれば May I 〜? がいいと思います。
Can I 〜?は「私〜できますかね？」と聞いているようなもので、日本語できくとそこまで違和感がないかもしれませんが、質問によっては「あなたができるかどうかは、あなたしか分からないよ」とジョークで返す人もいるかも（経験あり笑）
Can I ~ for you? と続く場合にはよく使われますが、これは相手のために何かをやってあげようかとお伺いをたてる時です。Shall I 〜? も同じく「私〜した方がいいですか？」という意味合いですので、今回の文では使うには違和感があるかと。
write と write downは日本語で言えば「書く」と「書き込む」ぐらいの違いなのでどっちでもいいと思います。
日本 
