あの方には、あまり責任感が無いようだ　って英語でなんて言うの？

Lack は 欠けている、そして responsibility は責任です。
ですから、(He/ she)lacks responsibility. は (彼または彼女)は責任感に欠けているという意味です。

(He/ she) is not a responsible person.は 「彼、彼女は責任感がない人です」。という意味です。

「約束を破った人を誘わないようにしょう」と言いたいなら
I can’t make plans with people who don’t keep promises.
(約束を守らない人と予定を作ることはできない)。または、
I can’t make plans with people who are not responsible.
(責任感のない人と予定を作ることはもうできない)。

「誘う」という言葉の直訳は invite ですが、invite は「招待する」という意味の方が強いので、ここで使う「誘う」は”make plans”(予定を作る)という言葉を使った方がいいです。

またもっと柔らかい言い方をしたいのであれば、
It’s hard to make plans with people who you’re not sure can keep a promise. (約束を守れるか分からない人と予定を作るのは難しい)〜と言えます。

ご質問ありがとうございます。

「あの方には、あまり責任感が無いようだ」は英語で「That person seems to be lacking a sense of self responsibility.」と言えます。

また、別の言い方で「It seems that person clearly doesn't feel a sense of responsibility.」でも言えます。

ご参考になれば幸いです。