地元の商店街にはちゃんとした服装をしなくても行けるって英語でなんて言うの？

商店街は shopping district または shopping street です。
地元は local または nearby(近場)です

そして、「ちゃんとした服装をしなくていい」は You don’t need to dress up です、これはつまり「オシャレしなくても大丈夫」という意味です。

ですから、You don’t need to dress up when going to the local shopping district. は(地元の商店街行く時は、オシャレしなくても大丈夫だよ)。という意味になります。