５連休を取って土日とつなげて９連休にできるって英語でなんて言うの？

まずは、説明会ですので「You」を使います。

「By taking 5 days off in between weekends, you can maximize your vacation time to 9 days (10 if there is a national holiday)」

Maximize という単語を使いましたが、「最大化」と言う意味です。
５連休を取ると、ホリデータイムを9日（祝日があれば10日）まで得られると言う意味です。

月曜から金曜まで休みを取れば、9連休を持つことになる。

の意味です。

数字＋straightで、「～連続の」という意味を表します。
例）　five straight years 「5年連続」

If I take vacations from Monday through Friday, I can take 9 days off maximum adding to the weekends.
【訳】もし月曜から金曜まで休みを取ると、週末を足して最大9日の休みが取れる。

イギリス英語だと Monday to Friday の方で through は使わないときいたことがあります（あくまで聞いた話）。アメリカだとthroughが多いけど、toでもOKです。

vacation ＝休暇
day off ＝お休み

（）内を言うなら、その後に追加する形になります。（10days maximum if there is a national holiday)