Go into labour は[ 陣痛](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/64572/)が始まる、という意味です。
anxious は そわそわする、nervous は緊張する、という意味です。
I felt anxious as my little sister went into labour.
(妹の陣痛が始まると、私も[落ち着いて](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/6859/)いられなかった)。
I felt nervous as my wife went into labour.
(奥さんの陣痛が始まると、私も[緊張](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36616/)しだした)。
labour / labor のスペルですが、イギリス英語では labour、アメリカ英語では labor が使われることが多いです。
どちらも正解です。
参考に!
子供が[生まれる](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34484/)のを[期待](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/54356/)して「そわそわして落ち着かない」なので、
be excited + じっと座っていられない(can't sit still)
で表すといいと思います。そこで
I'm so excited that I can't sit still.
なお、「妹の[陣痛](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/64572/)が始まった」は
My sister came to full-term.(臨月になった)
になります。