make use ofは、use「[使う](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52470/)」とほとんど意味が同じです。本当にわずかな差があるとすれば、make use ofには、「もともと使うべきものを使っていない」というニュアンスが場合によってあります。
I made a cocktail by making use of the yoghurt I bought 2 weeks ago.
二週間前に買ったヨーグルトを使ってカクテルを作った。
exploitには、「個人的な利益を得るために、人や状況などを[利用する](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/44749/)」というかなりネガティヴなニュアンスが入っています。
ただし、exploit one's talentsという、「自分の才能などを[最大限に活かす](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/50113/)」という意味をもつ表現の場合は、exploitは必ずしもネガティブな意味合いだけをもつとは限りません。
能力や才能を発揮すること又は「活かす」ということは英語で「make use of」で表現します。
例文:
「自分の能力を活かせる仕事に勤めたい」
→「I want to work in a job where I can make use of my skills」
「今の仕事で英語力を活かせる」
→「I can make use of my English skills at my current job」
ご参考になれば幸いです。