「あの人調子に乗ってるよね」って英語でなんて言うの？

・"Full of himself/herself"
という表現は、自惚れていたり、自分勝手な人に対して使う一般的な表現です。
直訳すると「自分のことしか考えられない人」に近いかもしれません。

なので、実際に使う場合は、以下のように使ってみてはいかがでしょうか？

・"He's so full of himself. Who does he think he is?"
「彼、本当調子乗ってるよね。全く何様だと思ってるの？」

ちょっと汚い言葉になりますが、「①　He's such an asshole」が通用します。

この単語は、基本的に「嫌な奴」を指す言葉です。

ジュリアン

スラング的な表現ですが、"jerk"もよく聞きます。
自分勝手な奴、わがままな奴、という悪口ですね。
発音は「ジャァク」です！

ただし、この単語は女性が男性のことを悪くいう時に使います。
女性シンガーのTaylor Swiftのプロモーションビデオ”Picture to Burn”にも出てきているので
リスニングしてみてください。

get carried awayは、「調子に乗る」というイディオムで、
周りの雰囲気やその時の気分などに流されて、度を超えて何かをやりすぎてしまったりするという場合に使える表現です(^_^)
なので、
そのような意味で、「調子に乗っている」なら、
He's getting carried away.
と言えます。
例えば、
I got carried away and drank too much.
「調子に乗って飲み過ぎてしまった」
のように使います。

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)