これは確かに少し時代を感じる表現などがあります。
今でも[スマホ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/42582/)で鳴らす時も Put music on は使います。
但し最後の文章の Turn music on はもう時代遅れな表現と
言ってもいいでしょう。
(Turn on は[回す](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/66603/)と言う意味です。ボタンを回すなど)
時代や年齢を気にする方なら Play music が一番無難かも
しれません。
例:
Could you play some music on your phone?
携帯で音楽を流してくれない?
Could you put on some music?
音楽を流してくれない?
play the song
(その)[曲](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/47561/)を流す
レコードでもジュークボックスでも[スマホ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/42582/)でもplayで大丈夫だと思います。
put the song on
も同じように使えます。
再生する機器に関わらず、「音楽を流す」場合は、原則的に全てにおいて、もちろんスマホの場合でも
playが使えると思います。
例)
play music on the smartphone
「スマフォで音楽をかける」
また、play musicは「音楽を演奏する」の意味にもなりますが、文脈によって判断できるので、気にしなくて大丈夫です。
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)