自分で何とかするよって英語でなんて言うの？

「by oneself」は使いません。
Oneself と言う単語は、間接的に、第三者の立場として、仮説を語る時に使う単語です。
例えば：「To travel to North Korea by oneself is reckless」。

質問者様の場合ですと、「I'll sort it out myself」（自分でなんとかする）が一番いいと思います。

Make A B=AをBさせる
Workは「うまくいく」という意味でも使えます。
Make it work ＝直訳で「それをうまくいくようにする」=「なんとかする」
Myself 自分で
By myself 自分ひとりで

I’ll make it work (by) myself.
直訳「自分でうまくいくようにします」
＝「自分で何とかします」

Handle=「対処する」
I’ll handle it (by) myself.
「自分で対処します」

ご参考までに

「自分で何とかするよ。」は、

"I'll make a way."

という表現を使うことも出来ます。

"make a way"は、「前進する・先へ進む」という意味です。

"I'll make a way where there seems to be no way."
「困難な状況でも自分で前に進んでいきます。」

ご参考になれば幸いです。