「アメリカのドラマを日本語の吹替で観ています」という表現は、英語で "I watch American dramas with Japanese dubbing." と言います。
質問補足について、日本語では「サブタイトル」がテレビ番組の説明的なタイトルとも使われますが、英語の "subtitles" は「字幕」の意味であることを説明するために、以下のような表現が役立ちます: "In Japan, 'subtitle' can mean a descriptive title for TV shows, but I now understand that 'subtitles' in English refers to the text displayed at the bottom of the screen for translation."