安定化することは「stabilize」と言います。
とは言っても、東京の気候は不安定と言うより、ただ寒かっただけだと思いますので、非常に不安定なわけではないので「stabilize」は適切な言葉だとは思いません。
「Normalize」を推奨します。
Normalize とは、「普通に戻る」と言う意味です。
従って、「I hope the weather normalizes」、またはよりカジュアルな「I hope the weather goes back to normal」をお勧めします。
I really hope the weather gets back to normal soon.
ご質問どうもありがとうございます。
様々な表現があると思いますが、いくつ自然な表現を紹介します。
1. Let's hope the climate stabilizes soon.
気候が近いうちに、安定することを祈っていましょう。
2. I really hope the climate stabilizes soon.
気候が近いうちに、安定することを祈っています。
3. I really hope the weather gets back to normal soon.
天気が近いうちに、普通の状況に戻ることを祈っています。
お好みに合わせて使い分けてみてください。
ご参考にしていただければ幸いです。