親しみって英語でなんて言うの？

「親しみを感じる」は「親近感を感じる」と いうことですから、a sense of closeness、 a sense of familiarityを使って表現できます。 例文 I feel a sense of closeness with him. I feel a sense of familiarity with him. 彼に親しみを感じる 参考になれば幸いです。

「intimacy」は使い方によって時々性的な意味となりますが、一般的な意味は「人が遠慮なしで一人一人の気持ちや意見を伝え合うことでもっと仲良くできたり近くなれること」と言う意味です。この意味で「intimacy」は「sincerity」や「vulnerability」に似ている言葉です。 「vulnerability」の他に「openness」 と言えますので、動詞の形なら「be vulnerable」とか「be open」と言います。