●What does your family call you?
「あなたの家族はあなたのことを何て呼ぶの？」
●Does your family have a nickname for you?
「あなたの家族は、あなたにニックネームを付けてる（ニックネームで呼ぶの）？」
"Have a nickname"を直訳すると「ニックネームを持っている」になりますが、ここでは「ニックネームを付ける」というニュアンスがあります。家族がニックネームを付ける、すなわち、ニックネームで呼ぶ、とう解釈です。
ご質問の"Does your family call you?"は「あなたの家族はあなたを呼ぶ？」という意味ですので、例えば、"by your first name?"または"by your nickname?"と付け足すと良いと思います。「あなたの家族はあなたのファーストネーム／ニックネームで呼ぶの？」となります。
少しでもお役に立てれば幸いです。
普段、君の家族はあなたの事を、何て呼んでいますか？
「What does your family usually call you?」で大丈夫ですよ(^ ^)
会話はこうなります：
まり：What does your family call you?
けん：They call me "Ken." What about you?
まり：They call me "Mari", or sometimes "Mariko."
他に「What name does your family call you by?」もあります！「name」を入れる時は最後に「by」も必要になります。
"Address" is another word that means the same as "call" when you talk about a person. This is a more formal way to ask someone what their family calls them.
I hope that this helps :)
"Does your family have a nickname for you?"
'nickname' is what you are called other than your actual name. It can be a shortened version of your name like 'Rob' instead of 'Robert' or it can be a name completely different than your actual name.
"What do your family and friends call you?"
This is asking if your family and friends have a name for you that you go by other than your actual name.
"Does your family have a nickname for you?"
（家族から呼ばれているニックネームはありますか？）
'nickname'（ニックネーム）とは、実際の名前以外の呼び名のことです。名前を短縮する場合（'Robbert' を 'Rob'、など）や、実際の名前と全く違うこともあります。
"What do your family and friends call you?"
（家族や友達はあなたのことを何と呼びますか？）
これは、家族や友達があなたのことを実際の名前以外で呼ぶことがあるか尋ねています。
Do you have a nickname that your family calls you?
What is your nickname that your family calls you?
Does your family call you something different from your name?
Do you have a nickname that your family calls you?
What is your nickname that your family calls you?
Does your family call you something different from your name?
I have my real name and a nickname my family calls me, do you?
Do you have a nickname that your family calls you?（家族から呼ばれている愛称はありますか）
What is your nickname that your family calls you?（家族から呼ばれている愛称は何ですか）
Does your family call you something different from your name?（家族からは何か別の名前で呼ばれていますか）
I have my real name and a nickname my family calls me, do you?（私には本名と、家族から呼ばれている愛称があります。あなたはどうですか）
Nickname: special name other people around you call you by.
Usually, our family has a special name they call us by because of the many years shared, there are certain experiences or stories that could give birth to a nickname.
"Do you have a nickname?" This is a simple way of shortening a name either by a diminutive or attribute. For e.g. "Nicholas" becomes "Nick" & "David" become "Dave". Alternatively, it could be by personal attributes, e.g. if someone likes money, they could have the nickname "Cash" or "Dozza".
What do your family & friends call you? More of a formal way of asking how the person is addressed. "What do your family & friends call you? " "They call me shorty because I'm not too tall! :D
A Black Sheep. This is a bit more complicated as all families are, of course. Generally, a 'black sheep' is a person in the family who is considered a shame or disgrace to it. It's a bit more personal & something extra. E.g. "I'm considered the black sheep of the family because I left the family home & moved to greener pastures whereas my siblings stayed".
"Do you have a nickname?"（ニックネームはありますか）
= これは名前を短くしたものや性格によってつけられたあだ名を指します。例えば、"Nicholas" なら "Nick"、"David" なら "Dave" となります。性格によってつけられることもあります。例えば、お金が好きな人なら、"Nickname"（ニックネーム）は "Cash" や "Dozza"になるかもしれません。
What do your family & friends call you?（家族や友達には何と呼ばれていますか）
= これはフォーマルな言い方です。
例：
"What do your family & friends call you? " "They call me shorty because I'm not too tall!"
「家族や友達には何と呼ばれていますか」「身長が低いので "Shorty" と呼ばれています」
A Black Sheep.（厄介者）
= これは少し複雑です、もちろん「どの家庭も」ですが。'black sheep' は家族の恥となる人を指します。より個人的で深い意味があります。
"I'm considered the black sheep of the family because I left the family home & moved to greener pastures whereas my siblings stayed"
「私は家族から黒い羊だと思われています。私だけより青い牧草を求めて実家を離れたからです、きょうだいは残ったのに」
"What do your family call you?"
Is a easy and causal term used when asking what your family may call or refer you to as.
"What are you referred to as in your family?"
This is more of a formal and polite term to ask what your family 'refer' you too, what they may call you.
"What do your family call you?"（家族には何と呼ばれていますか）
は、シンプルでカジュアルな言い方です。家族から何と呼ばれているか尋ねています。
"What are you referred to as in your family?"（家族には何と呼ばれていますか）
これは、丁寧でフォーマルな言い方です。家族から何と呼ばれているか尋ねています。
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