"本件"や"この件"って英語でなんて言うの？

面白い質問ですね。

本件やこの件について、英語で書くなら、「On this」（これ）になります。

「Matter」と訳す方もおられかと思いますが、僕の意見ではmatter は不要です。

例文：
- I was going to send you the marketing material this week, but there has been a delay. You will receive an email on this from another team member.

in this regard は
　relating to something that have just been mentioned
という意味のフォーマルな表現なので、ビジネスで「この件について」と書く場合はこれも使えます。

なお、this 単体で使うときには
　on this
　about this
　regarding this
など、前置詞はいくつか使えます。

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：

regarding this matter
この件につきましては

regarding は「〜に関して」という意味の英語表現です。
matter はあってもなくても良いと思います。

例：
We will explain further regarding this matter later.
本件につきましては後ほど詳しく説明いたします。

ぜひ参考にしてください。