発言を改めて言う時に again や once again と言えます。例えば「改めておめでとうございます!」と言いたいなら Once again, congratulations! と言えます。Once を省略して Again, congratulations! とも言えます。
「改めてありがとうございます!」と言いたいなら、Again, thank you と言えます。Thanks again という言い方もありますが、これは飽くまでカジュアルな表現です。
ご参考になれば幸いです。
「あらためて」はご質問の文脈だと英語でonce again または again でもいいと思います。
「改めて(あらためて)おめでとうございます!」
Once again, congratulations!
他にも例文を挙げておきます。
1. I will call you again sometime later.
また後で電話するね。
2. Once again, he turned the TV off when I told him not to.
消さないでって言ったのにまたテレビを消した
参考にしてみてください