聞いたことをすぐノートに書きなさい。って英語でなんて言うの？

Write down what you've heard on your notebook now.
【訳】今すぐノートに聞いたことを書きなさい。

You should write down what you've been told right away.
【訳】伝えられたことをすぐにノートに書くべきです。

write down は日本語で「書き記す」でしょうか。ノートに記入するような時に使います。もちろん　write だけでも伝わると思いますが。

書く時点ではすでに「聞き終わっている」もしくは「伝えられ終わっている」ので、それらは現在完了形になります。