Please write down your name and passport number here.
Fill in your name and passport number on the form.
1) Please write down your name and passport number here.
「ここにお名前とパスポート番号を書いて下さい」
2) Fill in your name and passport number on the form.
「フォームにお名前とパスポート番号を記入して下さい」
民泊と言うことで、直接会ってお願いするのであれば1)を、
ホストと宿泊者が会わない場合もありますので、
その場合、2)を宿泊案内として記載すればいいと思います。
この場合の「記載する」は英語でだいたい write と言います。
「名前とパスポート番号を記載する必要があります」と言いたいなら You have to write your name and passport number が普通の言い方です。
Write の代わり fill in でも使えます。ニュアンスが同じです。なので、 You have to fill in your name and passport number と言えます。私でしたら多分この言い方を使います。
ご参考になれば幸いです。