2. I'm going to keep studying hard to improve my English.
3. I'm going to do my best to improve my English.
kyokoさん、
こんにちは。
こういう文章を英語で言うと多数の言い方がありますので、ここで三つだけの英訳例を述べました。
「もっと[英語](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32985/)が[話せる](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33800/)ように」は英語で "so that I can speak more/better English" になりますが、少し不自然に聞こえます。単に "to improve my English" (私の英語を磨くため・私の英語のレベルを上がるため）の方が良いと思います。
英訳例の1.の I'm going to study hard は「これから勉強を頑張ります」、
英訳例の２.の I'm going to keep studying hard は 「これからも続けて勉強を頑張ります」、
と英訳例の３.の I'm going to do my best は 「これから頑張ります」というそれぞれのニュアンスの強調があります。
＜ボキャブラリー＞
study = 勉強する
improve = 向上する
keep = し続ける
do my best = 努力する
ご参考になれば幸いです。
I will study hard to be able to speak English better/well.
I will work hard to improve XX.
I'll do my best.
[勉強](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/51432/)を頑張ります = (I will) study hard
ように = in the way that, so that --> to
[話せる](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33800/) = to be able to speak
もっと英語 = more English --> English better.
improve = よくなる、上達する
「Study」は勉強することだけですけど、「work hard」は仕事と学校もについて話しに使われます。
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