彼らは家庭菜園を始めることにしましたって英語でなんて言うの？

decided to start は始める事にしましたと言う意味です。

Home gardenは家庭菜園と言う意味です。

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"彼らは家庭菜園を始めることにしました" と言う意味です.

彼らは～始めることにしました： They've decided to start ～.
家庭菜園： a home vegetable garden / a family vegetable garden.

They've decided : 過去で決断て，現在の状況がその決断にかかっている.　
They decided : 過去で決断して現在とは関係がない.

例：
2 years ago they decided to start a home vegetable garden but they didn't succeed.
"彼らは2年前に家庭菜園を始めることにしましたが成功ではなかった"

現在庭を始まる予定があるからこの場合では "They've decided"を使います.

「彼らは家庭菜園を始めることにしました。」は、

"They start growing their own vegetables."

と言うことも出来ます。

"start ~ing"は、「～を始める」

"one's own"は、「自分の」という意味なので、商業目的ではなく家庭菜園だというニュアンスが伝わります。

ご参考になれば幸いです。