回答
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It's necessary to start the screening of the application, so could you submit it by tomorrow?
申請は application で審査が screening になります。
「 」必要があるという表現は It's necessary to( )か We need to ( )です。
頂けますかは Could you( )か Would you be able to ( )になります。
回答
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Could you submit the documents by tomorrow in order to proceed with your application screening?
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Please submit the documents by tomorrow in order for your application to be considered.
上記の英訳文はいかがでしょうか。
直訳すると、一つ目の英訳文は「(あなたの申請の)審査を進める為に、明日までに書類を提出していただけますか?」、二つ目の英訳文は「(あなたの)申請を検討する為に明日までに書類を提出してください。」となります。
「すぐに審査を始める」と言いたい場合は、最後に"soon"等を追記すれば良いです。お相手からの書類提出も早くなるかもしれません。
ただし、欧米諸国では、不足書類の提出を依頼することはあまりしません。また、理由を説明することもありません。ですので、このようなことを英語で言うことには、不自然さが残ります。その為、欧米諸国で使用してもなるべく違和感のない表現を回答とさせていただきました。
お役に立てれば幸いです。