この月のこの日は予定空いてますかって英語でなんて言うの？

簡単な言い方があります。「予定空いてますか」は英語で "Are you free?と言えます。でも、これだけと言ったら、「今空いてますか」という意味ですのでその次具体的の日付を付けられます。

例文：
Are you free on December 16th? 「12月の16日は予定空いてますか？」

Are you free on January 22nd? 「1月の22日は予定空いてますか」

ここでの free は「空いている」という意味になります。

available という表現もよく使われます。available はビジネスなどでもよく聞きますよ。

「予定は空いてますか」という英文は以下。
・Are you available？
available は「利用できる」という意味ですが
予定の話をしてる時、availableは「予定は空いている」という意味になります。

・Are you free？
freeは「自由な」という意味ですが、スケジュールの話をしている場合は free =予定は空いている、という意味になります。

参考までに、「この日空いてるか確認してくれる？」といった確認の意思を込めた表現をしたい場合は、頭に「Can you confirm」をつけます。
例) Can you confirm you are available on December 24th?　
「１２月２４日にスケジュールが空いてるか確認してくれる？]

・３番目のWhat is your schedule like on 〜(日程)
= 〜(●月●日)のスケジュールはどんな感じかな？
*like をつけると「〜のような、〜な感じ」と言った表現の文章を作ることができます。

＜例＞　
A. What is your schedule like on December 23rd?
１２月２３日にスケジュールはどんな感じ？

B. I am free all day.
一日中空いてるよ。

ご参考になれば幸いです :)

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：

Are you free on ... ?
Are you available on ... ?

いずれも「〜は空いていますか？」という意味の英語表現です。

例：
Are you available on January 10th?
1月10日は空いていますか？

ぜひ参考にしてください。