彼は～を認めているって英語でなんて言うの？

英語で「彼は～を認めている」、「～許可している」という表現は、He accepts~になります。
文法的に日本語の順番と逆ですね。
「○○～を認めている」＝To accept ○○

使い方の例：
彼は自分の非を認めている。
He accepts that he was wrong

多くの人に認められている説
A theory that is accepted by many (people)

ご参考になれば幸いです！

A permit B to do～＝「AはBが～することを認める（許可する）」
Study abroad＝「留学する」
Finally＝「最終的に、やっと」

例文）
Her parents have finally permitted her to study abroad.
「彼女の両親は、彼女が留学することをやっと認めた（許可した）」

ご参考まで