My cough won't stop and I feel like I'm choking. 「咳が止まらず、窒息しそうです」
ここでの "cough" は「咳」を意味し、"won't stop" は「止まらない」ことを示します。"feel like" は「〜のように感じる」を意味し、"choking" は「窒息している」という状態を表します。
他の表現としては、 I'm having trouble breathing because of my persistent cough. 「咳がひどく息ができません」