本を読むといつも眠くなる。って英語でなんて言うの？

Readingが「読書」です。

OO makes me tired で「OOすると眠くなる」です。
Sleepyという言葉を思い浮かべる人が多いかもしれません。もちろん通じますが、あまり一般的ではない気がします。ちょっと子供っぽい印象を与えるようなところがあるみたいです。

なので、他の回答者さんもお使いになっているように、tiredを使いました。

参考にしてください

この場合の眠くなるは become tired という表現を
使います。
本は複数形で books です。