この場合、see は一番自然です。Imimeyuさんの例文の 「to see you being happy」と言うと、通じることが出きます。けど、英語で「姿」ということをあまり表しません。
「I'm happy to see that you're happy.」は単に言えば、「I'm happy to see you happy.」
実際はいろいろな表現できます。
I'm happy that you're happy.
You're happy, so I'm happy.
最初の言い方は、It makes me happy to see you in a good mood. は、機嫌がいい姿の姿を見るのが嬉しいと言う意味として使われていました。
最初の言い方では、makes me happy は、嬉しいと言う意味として使われています。see you in a good mood は、機嫌がいい姿と言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、I am in a good mood if you are happy. は、私はあなたの嬉しい姿を見るのが嬉しいと言う意味として使われています。
二つ目の言い方では、good mood は、機嫌がいい姿と言う意味として使われていました。you are happy は、あなたが嬉しいとと言う意味として使われています。
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