the likes of them = このような人(悪い人)
「私は負けない」は直訳すると「I won't lose.」という表現になります。
けど、この場合、一般的に使われている表現があります。
例えば、「They're just words. 」と言います。「言葉だけに私は絶対負けません」のニュアンスがあります。
「Sticks and stones may break my bones but words will never hurt me.」「具体的なものは確かに私が傷つけるけど、言葉は違います」という意味です。
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか:
I'm not going to give in.
私は諦めない(負けない)
give in は「負けを認める」「諦める」という意味の英語表現です。
will not give in で「諦めない」となります。
ぜひ参考にしてください。