次の乗機可能な便に変更してもらいたいときは「Can I change it to the next available flight?」が良いかと思います。
Next flight ではなく「Next available flight」を提案した理由は、必ずしも次の便が満席でないことはわからないので、次の乗機可能な便に変更できるかどうか尋ねることで目的を果たせます。
Could you change my flight from the current flight to the next one please
I'd like my flight change to the one after the one I have on my ticket.
Could you change my flight from the current flight( 今の00便から) to the next one please(次の00便に変更しくれる)
I'd like my flight changed( チケットを変更して欲しいんですが) to the one after ( 次の便に)the one I have on my ticket. ( チケットに書いてしてあるの)