I want to be with you when it becomes my birthday at midnight.
Asakuさんの英文を少し直します。
I don’t want to be alone on my birthday at midnight, so can I meet you?になりました。これを言ったら、通じられると思います。この英文を日本語にしたら、「誕生日は日付が変わったら、1人で居たくないから、あなたに会っていいですか?」
その上、別の言い方を教えます。
"I want to be with you when it becomes my birthday at midnight" とは、「誕生日は日付が変わるときに一緒に過ごしたい」という意味です。
2つの英文は同じことを伝えるなので、どっちでも使うことができます。