最初の文章：
"Your birthday is which date in August?"＝「あなたの誕生日は8月のどの日にち？」
二番目の文章：
"When exactly is your birthday in August?"＝「正確には8月のいつがあなたの誕生日ですか？」
Sentence in context:
"I know your birthday was in August, but could you tell me which date it was exactly?"（あなたの誕生日は8月だったということは知っているけど、正確にはどの日だったか教えてくれる？）
ーWhat day is your birthday in August?
「８月の何日が誕生日？」
what day is ... ? を使って日にちを聞くことができます。
ーI know your birthday is in August, but which day?
「８月が誕生日なのは知ってるけど、何日？」
which day? でも日にちを聞けます。
ご参考まで！
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば下記のような表現はいかがでしょうか：
・When in August is your birthday?
あなたの誕生日は8月のいつですか？
・What day in August is your birthday?
あなたの誕生日は8月の何日ですか？
・What is the exact date of your birthday?
あなたの誕生日の日にちはいつですか？
ぜひ参考にしてください。
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