If it doesn't arrive in the next week please let us know.
どちらも「１週間経っても届かなかったらご連絡ください。」という言い方です。
1) If it hasn't arrived in a week please contact us.
in a week で「１週間で」
2) If it doesn't arrive in the next week please let us know.
in the next week で「来週に・あと１週間のうちに」
「連絡してください」は
please contact 人
please let 人 know
を使って言えます。
ご参考になれば幸いです！
"Please contact us again if the item has not been delivered after one week."
"Please contact us again" は「もう一度ご連絡ください」という意味で、"if the item has not been delivered" は「商品が配達されなかったら」という条件を表します。最後に "after one week" で「一週間経っても」と時を指定しています。
配送や対応に関する他の表現:
expected delivery date - 予定配達日
shipment - 出荷、配送
delay - 遅延
日本 
アメリカ合衆国 
