「地区」という言葉を英語で表すと、「district」という言葉、または「area」という言葉を使っても良いと考えました。複数形は「districts」と「areas」です。例えば、「I live in a district with a lot of cafes.」と「I live in an area with a lot of cafes.」と言っても良いです。「A lot」は「たくさん」という意味があって、「cafe」は「カフェ」という意味があります。
人が住んでる近所、都市や町の部分、ということは英語で neighborhood (カナダ英語の綴り：neighbourhood)と言います。“neighbour”は「隣の人々、近所の人」という意味で、-hoodを付けて、「近所、付近の地区」の意味になります。したがって、ご質問の文章は：“There are lots of cafes in my neighbourhood.”
“part of town”も言えます。「町の部分」の直訳で、英語では大都市でもこの風に“town” が言えます。 “New York’s upper west side is a nice part of town.”
「地区」は英語でdistrictかsectionと言えます。それに、areaという言葉も使えると思います。districtは「区」という意味があります。sectionは「区」か「部分」という意味があります。sectionは「地区」以外にも色んな場合で使えます。areaは「地域」や「地方」と似ています。文脈によって使う言葉が変わります。ニュアンスが少し違いますが、意味がほぼ同じです。
例：
There are many cafes in the district I live in.
私が住んでいる地区にはカフェがたくさんあります。
That district is known for having many bars.
その地区は多くの居酒屋があることで知られています。
He lives in an expensive section of the city.
彼は街の高価な地区に住んでいます。
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