このシチュエーションで "I sincerely apologize for the mistake" と言います。「大変失礼しました」を表します。
apologize はI'm sorryよりとても強い表現です。フォーマルな場面で使うことができます。
この英文は[上司](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33027/)など、[お客さん](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/61550/)へ使うことができます。
「大変失礼致しました」というのは I'm terribly sorry で表現できます。
例文 I'm terribly sorry for the mistake.
「[間違って](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/38154/)大変失礼致しました。」
例文 I offer my deepest apologies for the mistake.
「間違って大変失礼致しました。」
参考になれば幸いです。
おっしゃられている内容は以下のようにも表現できると思いました。
I'm sorry I made the mistake.
「間違えてごめんなさい」
の意味です。
他のアンカーの方が挙げてらっしゃるよりも、ずっとカジュアルな言い方です。
上司との関係性にもよりますが、あんまり上下関係とかが厳しくない感じなら使っても問題ないと思います。
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
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