生産管理って英語でなんて言うの？

生産管理は「Production management」と言います。

やる仕事の内容を説明するとしたら、まずは在庫管理状況、資材の調達、生産工程改善向上などがあると思うので、その英語も提案します：
- Production management involves understanding the company's inventory situation, procurement of raw materials and continuous improvement of production processes.

生産 = production
管理 = management
部署 = department

In the production management department, we streamline production and develop sales plans.

生産を効率化する = to streamline production
販売を計画する = to develop sales plans (販売の計画を作る）

we は「私たち」ですが、自分が所属する部署なら we を主語にします。自分が所属しない場合は they にします。