そうですね、「look」と「see」と「watch」は微妙なニュアンスの違いがあります。
簡単にいうと、「動いといる人・物」や「アクション」について話す際に「watch」という動詞を使います。例えば、サッカー試合、映画、子供の遊びなどのアクティビティーは全部「watch」になります。「see」は「見える」というニュアンスを与える動詞です。例えば、「I can't see you」（私はあなたの事が見えないよ）や「I can see a pretty bird」（私は綺麗な鳥が見える）などの文章で「see」を使います。
「look」は「わざと何かに目を向ける」というニュアンスを与える動詞です。命令形の文法でよく使われています。
Look at that bird!
（あの鳥を見て！）
Look at me!
（私を見て！）
など
まとめると、子供が遊びを見てほしい際に、「Watch me!」（またはLook at me!)という英語を使うべきです。そして、母親の返事は、「Do you want me to watch you play?」や「Shall I watch you play?」になるべきだと思います＾＾
ご参考になれば幸いです
イギリス 
