ツイッターを開いたときは、when I opened Twitterということができます。
I was really happy when I opened Twitter because I got a notification from you.（私がTwitterを開いた時にあなたからの通知が来ていてほんとに嬉しかった。）
参考になれば幸いです。
When opened Twitter, I found the notification of your message and was very happy.
I was very happy when I received your message on Twitter.
I was so happy to see your message on Twitter.
それぞれの回答を直訳すると、以下のような意味になります。
【回答１】ツイッターを開いた時、あなたからのメッセージの通知を見つけて、とても嬉しかった。
【回答２】ツイッターであなたからのメッセージを受け取った時、私はとても嬉しかった。
【回答３】ツイッターであなたからのメッセージを見てとても嬉しかった。
「私がTwitterを開いた時」は、When I opened TwitterでOKです。回答１は、ご質問の文章になるべく近い表現にしてみました。Notificationは、メッセージの「通知」です。
回答２～３は、回答１よりも、よりシンプルな表現です。「ツイッターを開いた時」や、「通知」といった、細かい描写は省いて、もっとカジュアルな言い方にしています。通常の会話の中であれば、こうした言い方の方が良く使われるかもしれませんね。
ご参考になれば幸いです！
「私が」は主語で、「I」を使います。「開いた」動詞、「Twitter」が目的語です。「時」は When として、開く時の行動を表しています。When I opened Twitterの後はマインの内容の訳しです。
「I was really happy to receive your notification.」は直訳の方で、「notification」ではなく「Tweet」を使ったのは、Twitter の通知は「Tweet」でも英語で言えます。
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