When I drink I get red in the face, and a little bit embarrassed.
uchiさん、ご質問ありがとうございます。
「お酒を飲む」は alcohol を言わなくて、ただ drink で言えます。
~ するとは when I ~ で表現できます。
「「恥ずかしい」を、深刻ではない軽い感じの意味」のニュアンスを伝えたいなら a little bit を使えばいいと思います。
例文 I was a little bit sad at the end of the movie.
「映画の最後に、ちょっと悲しかったね。」
ご参考になれば幸いです。