『ついている』は
~is in luck, luck is on one's side, あるいは『なんて付いているんだろう!』と感嘆文にして、”How lucky ~ is!"などのようにいいます。
その反対の日でしたら、
Today is my bad hair day. といいます。
(ヘアスタイルがうまくいかないと、一日苛々して、運も悪くなる?)
I'm so lucky today =今日はすごくついてるな
Today's my day =今日は私の日だ
「私の日だ」って日本語ではあまり聞かないかと思いますが、「私を中心に一日中が成り立ってる」みたいな感じです。Today's my lucky dayとluckyを入れても入れなくても同じ意味です。