ばんざーいって英語でなんて言うの？

祝福の言葉や、うれしい時の表現としての「万歳」であれば、hoorayが最も一般的な訳となります。

他にも似たニュアンス・似た様な状況で使う言葉として
「見事！」→「bravo!」
「やった！」→「Yay!」

また、実は「万歳」という表現も「Banzai」という言葉で輸入されており、一般的ではありませんが意味が通じることが多いです。

イギリスでは、「hip hip hooray!」という表現があります。お祝いの「大声援」です。例えば、チームが勝つ時や誰かが素晴らしい事をやった時にこういう「大声援」を送ります。

一人が「Three cheers for 誰々・チーム名！」と叫んで、他の人たちは三回「hip hip hooray!」という声援を送ります。

人：　Three cheers for Mike!
皆：　Hip hip hooray! （x3）